martedì 4 ottobre 2016

Il Paradosso dello Sciatore

 È ormai diverso tempo che non parliamo di Relatività. L'ultimo post dedicato alla più famosa teoria partorita da Albert Einstein risale a Maggio, occasione in cui abbiamo parlato del tempo in Relatività Generale. Come abbiamo potuto constatare in più di un'occasione, un'analisi superficiale di questa teoria porta alla formulazione di diversi paradossi (come quello dei Gemelli).  
 Il Paradosso dello Sciatore ne è un esempio lampante, anche se non molto conosciuto. Secondo una sua formulazione, uno sciatore sarebbe in grado di superare un crepaccio con un salto per alcuni osservatori e al contempo essere condannato a una lunga caduta per altri. Com'è possibile che due persone osservino due sviluppi tanto diversi? Continuate a leggere per scoprirlo!

La contrazione delle lunghezze

 Il fenomeno fisico che permette di formulare il Paradosso dello Sciatore va sotto il nome di Contrazione delle Lunghezze: un effetto relativistico di cui abbiamo già largamente discusso qui. Se però non avete tempo o voglia di rileggervi l'intero articolo potete limitarvi a scorrere le prossime righe per rinfrescarvi la memoria.

 Per farla breve, immaginiamo di osservare un'automobile ferma. Ne prendiamo le misure e concludiamo che questa è lunga quattro metri. Ad un certo punto, non appena ci siamo allontanati, il proprietario dell'auto mette in moto e si dirige verso di noi a tutta velocità. Si tratta di un'automobile particolarmente potente, in grado di percorrere circa un miliardo di chilometri in un'ora. Noi però siamo piuttosto ingenui, e anziché toglierci dalla strada ci soffermiamo ancora ad osservare la lunghezza del veicolo. Soprendentemente però scopriamo che mentre la macchina è in moto verso di noi a velocità incredibile la sua lunghezza non è più di quattro metri, ma di appena un metro e mezzo

 A voler essere più precisi, è possibile verificare che tanto più velocemente la macchina si sta avvicinando a noi e tanto più contratta risulta la sua lunghezza. Inoltre, anche se l'auto si stesse allontanando da noi, la sua dimensione ci risulterebbe comunque contratta - e mai dilatata.

 Ma cosa vede invece l'autista della macchina?

 Per rispondere è sufficiente immedesimarsi in lui. Quando guidiamo in autostada non abbiamo sentore di muoverci a velocità elevata. Anzi, una volta che abbiamo raggiunto l'andatura desiderata non ci sentiamo molto diversamente rispetto a quando guidiamo per le strade cittadine. L'unico elemento in grado di farci intuire la nostra velocità è la rapidità con cui vediamo il paesaggio sfrecciare accanto a noi. Di fatto noi saremo sempre fermi rispetto all'auto - e dal nostro punto di vista sarà il resto del mondo a muoversi verso di noi.

 Ma se noi siamo fermi e tutto il resto si muove verso di noi molto rapidamente, per lo stesso motivo di prima, le lunghezze di tutti i corpi esterni all'auto ci sembreranno contratte. Anzi, non è nemmeno necessario parlare di corpi, qualunque lunghezza ci sembrerà contratta - anche quella che separa due città! Ad esempio, viaggiando a un miliardo di chilometri orari da Milano a Roma dovremo percorrere solamente 180 chilometri, anziché i canonici 476 (in linea d'aria).

 Quella appena descritta è la rinomata Contrazione delle Lunghezze, che si verifica in misura considerevole solo quando si ha a che fare con oggetti molto veloci. Si tratta di un effetto ormai ampiamente verificato e descritto dalla Teoria della Relatività Ristretta che - come abbiamo già visto quando abbiamo parlato del Paradosso dei Gemelli - si basa essenzialmente su due presupposti:
  • Lo spazio e il tempo sono omogenei e lo spazio è isotropo (non esiste una direzione privilegiata)
  • Le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale (ovvero non soggetto a un'accelerazione). Da quest'ultima ipotesi discendono la maggior parte degli effetti sorprendenti previsti dalla Relatività.
 A questo punto abbiamo tutto quello che ci occorre per illustrare, comprendere e risolvere il Paradosso dello Sciatore.
Il Paradosso dello Sciatore

 Per cominciare dobbiamo porci in una situazione insolita: ci ritroviamo ad assistere alla performance di uno sciatore decisamente avventato. Questi ha deciso di percorrere a tutta velocità una pista sciistica in disuso da anni.

 In realtà la pista pare essere in buone condizioni. Al termine della discesa il terreno si appiana e rimane ben livellato per un lungo tratto. C'è solo un problema: a pochi metri dalla fine della discesa nel corso degli anni si è aperto un profondissimo crepaccio.

 Lo sciatore si avvicina alla spaccatura per esaminarla. Non c'è assolutamente abbastanza spazio per frenare, ma in compenso la buca non è troppo larga. Anzi, dopo averla misurata l'atleta conclude che l'ostacolo è appena più lungo dei propri sci. Tra lo stupore generale, lo sciatore decide di percorrere comunque la discesa!

 In effetti, al termine del pendio il terreno è pianeggiante, e lo sciatore lo percorrerebbe a velocità costante. Insomma, dopo una lunga discesa l'atleta si ritroverebbe in un sistema di riferimento inerziale *(dato che procederebbe a velocità costante) - in cui è possibile applicare la Teoria della Relatività Ristretta. Più precisamente, per la Contrazione delle Lunghezze, lo sciatore vedrebbe il crepaccio restringersi fino a diventare più corto dei suoi sci. In queste condizioni non sembra esserci nulla di cui preoccuparsi: l'atleta riuscirà a superare il crepaccio indenne e sopravviverà all'impresa.

 Senza pensarci due volte, l'impavido sciatore si reca sulla sommità del pendio e si scaglia a tutta velocità verso la fenditura. In effetti quello che vede è proprio quello che si aspettava: il crepaccio si contrae a sufficienza per lasciarlo proseguire sopra di esso.

Ma allora dove sta il Paradosso dello Sciatore? Per rispondere basta chiedersi cosa osserviamo noi dal termine della discesa.

 Dal nostro punto di vista infatti il crepaccio è fermo, per cui la sua lunghezza non risulta contratta. Alziamo lo sguardo verso lo sciatore impazzito e cosa vediamo? Ricordiamo che la lunghezza di un oggetto che si muove verso di noi risulta contratta, per cui anche gli sci dell'atleta saranno contratti nel nostro sistema di riferimento!

 Insomma, osservando la situazione dalla fine del pendio non abbiamo motivo di credere che lo sciatore supererà indenne il crepaccio. Non dimentichiamoci però che lo sciatore, nel suo sistema di riferimento inerziale, ha tutti gli elementi per pensare di sopravvivere all'impresa.

 Insomma: da un lato ci siamo noi che stiamo già chiamando il soccorso alpino, dall'altro c'è uno sciatore che già pregusta la gloria. Entrambi i sistemi di riferimento sono inerziali, per cui è possibile applicare la Contrazione delle Lunghezze in entrambi i casi. Questo però porta a conclusioni contradditorie. Ma chi ha ragione?

Come si risolve il Paradosso dello Sciatore?

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Immagini tratte da:
http://siviaggia.it/viaggi/europa/il-decalogo-dello-sciatore/124928/
http://www.pitstopadvisor.com/news/come-consumare-meno-benzina-in-auto/
http://www.corriere.it/foto_del_giorno/scienze/12_febbraio_29/crepaccio_9134cfe8-62b9-11e1-8fe6-00ac974a54fa.shtml

2 commenti:

  1. Articolo molto interessante non avevo mai sentito di questo paradosso!
    Per risolvere mi viene da ricollegarmi al paradosso dei gemelli, in cui mi sembra si era detto che il gemello sull'astronave commette un errore più grande, rispetto a quello sulla terra, supponendo di trovarsi in un sistema inerziale
    Dunque direi che lo sciatore, partendo da fermo, accelera fino a raggiungere la velocità finale, commettendo un errore maggiore sulla misura della lunghezza degli sci, rispetto agli osservatori fermi.
    Però non ne sono del tutto certo!

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    1. Ciao e grazie per il commento! In effetti la soluzione ha dei tratti in comune con quella del Paradosso dei Gemelli, ma non occorre fare delle ipotesi riguardo all'accelerazione percepita dallo sciatore durante la discesa. Quel che importa è che questi si trova effettivamente in un sistema di riferimento inerziale appena prima di incontrare il crepaccio (dato che al termine della discesa continua a muoversi a velocità costante). In sostanza la soluzione non è questa, ma è comunque dello stesso ordine di idee ;-)

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