martedì 17 maggio 2016

Un giorno a Venezia è più lungo di uno a Enna: il Tempo in Relatività Generale

Ok, il titolo ha dell'incredibile, ma vi assicuro che è veramente così! Si tratta di un fenomeno previsto dalla Relatività Generale molto simile alla Dilatazione del Tempo, che abbiamo già incontrato. Proprio come nel caso del Paradosso dei Gemelli, si tratta di un effetto assolutamente impercettibile (salvo casi estremi) ma che può essere misurato precisamente con gli strumenti adeguati. Continuate a leggere per scoprire in che modo la forza di gravità influenza il Tempo, di quanto sia sfasato il tempo di Enna e Venezia e di come sia possibile misurare quest'effetto.



Il Tempo in Relatività Generale

 Prima di entrare nell'ambito della Relatività Generale riassumiamo brevemente il fenomeno della Dilatazione del Tempo in Relatività Ristretta.

 Nell'ambito della Teoria della Relatività è sempre opportuno avere ben chiaro non solo cosa si sta misurando, ma anche chi sta misurando. Infatti, come abbiamo avuto modo di verificare più volte, una misura può dare risultati differenti a seconda dello stato di moto di chi la effettua. Un classico esempio è la lunghezza di un oggetto (ad esempio un automobile): un osservatore fermo rispetto all'oggetto in questione (il pilota) misurerà una certa lunghezza del veicolo, mentre un osservatore in moto rispetto ad esso (un pedone) misurerà una lunghezza diversa (più piccola).

 Il tempo si comporta in maniera opposta rispetto alla lunghezza. Infatti, come ricorderà chi ha letto l'articolo sul Paradosso dei Gemelli, il tempo di un oggetto che si sta muovendo rispetto all'osservatore *(ovvero chi sta misurando) scorre più lentamente di quello di chi effettua la misura. Questo può risultare davvero poco chiaro, quindi è meglio chiarirlo con un esempio:

 Immaginiamo di tenere in mano due orologi. Notiamo ovviamente che la durata di un secondo è uguale per tutti e due. A questo punto lanciamo uno dei due dispositivi, che quindi si muoverà con una certa velocità rispetto a noi **(che siamo l'osservatore in questo caso) . Quindi misuriamo col nostro orologio quanto tempo impiega il suo alter ego in volo a scandire un secondo. Quello che scopriamo è sorprendente: l'orologio in volo impiega più tempo per cadenzare i secondi! Da ciò deduciamo che il tempo scorre più lentamente per chi si sta muovendo rispetto a noi.

 Questo fenomeno, noto come Dilatazione del Tempo, genera una serie di apparenti paradossi, che si possono risolvere mediante la Relatività Ristretta. 

 Ora, in tutti gli articoli dedicati alla Relatività comparsi finora sul blog abbiamo sempre considerato corpi e osservatori in moto uniforme, ovvero non soggetti a nessuna accelerazione. Ciò è dovuto essenzialmente al tentativo di rendere ogni post più semplice e comprensibile possibile, e i risultati che abbiamo ricavato non perdono di generalità. Cosa succede però se l'orologio che abbiamo lanciato non si muove di moto uniforme ma è soggetto a un'accelerazione (comportamento che si avvicina molto più al caso reale in effetti)?

 In buona sostanza, il tempo di un sistema di riferimento risente anche dell'accelerazione di quest'ultimo. Nel caso precedente, dal momento che l'orologio che avevamo lanciato si allontanava da noi con una certa accelerazione, il suo tempo veniva dilatato di un certo fattore. In generale, la Dilatazione del Tempo dovuta all'accelerazione è più complicata da descrivere rispetto a quella che riguarda corpi che si muovono di moto uniforme, per cui considereremo solo casi molto semplici.

 Ma veniamo a noi: che c'entra tutto questo con la Relatività Generale e lo sfasamento temporale tra Enna e Venezia?

 Per rispondere dobbiamo cominciare da una delle tre ipotesi della Relatività Generale: il Principio di Equivalenza Debole. Questo afferma che:
"La massa inerziale e la massa gravitazionale dello stesso oggetto sono numericamente uguali."
 Il ché apparentemente non significa nulla. Possiamo cogliere l'importanza di questo principio con un famoso esempio. 

 Immaginiamo di trovarci in un razzo totalmente privo di aperture sul mondo esterno: non abbiamo modo di capire dove ci troviamo. Abbiamo a disposizione tutta una serie di strumenti in grado di misurare l'accelerazione, e tutti quanti concordano: l'accelerazione nell'abitacolo è di 9,81 metri al secondo quadrato rivolta verso il "pavimento". È lo stesso valore dell'accelerazione di gravità terrestre, ma questo non basta a concludere che ci troviamo sulla Terra.

 Infatti, dal momento che il nostro abitacolo si trova su un razzo, possiamo formulare un'altra spiegazione altrettanto plausibile: il veicolo si trova nello spazio e sta accelerando di 9,81 metri al secondo quadrato, per cui noi ci sentiamo effettivamente "schiacciati" verso il pavimento, un po' come se ci trovassimo in un ascensore che sale verso i piani più alti.

 Insomma: non abbiamo modo di capire se ci troviamo in presenza di un campo gravitazionale o se stiamo semplicemente accelerando! O meglio, non possiamo accorgerci della differenza tra i due casi proprio perché la nostra massa inerziale ***(che entra in gioco nelle leggi della dinamica ed è legata alla forza che percepiamo nel caso in cui sia il razzo ad accelerare) è uguale alla nostra massa gravitazionale (legata alla forza gravitazionale che avvertiamo).

 Per farla breve, in Relatività Generale l'accelerazione di gravità non è diversa da una normale accelerazione. Inoltre, tanto più la gravità è intensa, tanto più evidenti saranno i suoi effetti sul tempo. Non a caso qualche settimana fa abbiamo parlato della Curvatura dello Spaziotempo dovuta proprio alla gravità. A dire il vero la faccenda è molto più complicata di così, ed è molto difficile trattarla approfonditamente senza ricorrere a formule minacciose, ma noi ci proveremo comunque ;-) 


A Enna il tempo scorre più velocemente che a Venezia

 Approfondiamo per un istante il concetto presentato nelle ultime righe. Perché una maggior forza di gravità dovrebbe causare una maggior dilatazione temporale rispetto a un osservatore lontano dal campo gravitazionale? Per rispondere è sufficiente tornare all'esempio del razzo e osservare che più è intenso il campo gravitazionale maggiore sarà l'accelerazione percepita nell'abitacolo. Questo è evidente: se ci troviamo nell'alta atmosfera percepiremo un'accelerazione pressoché nulla, mentre sulla terraferma la forza che ci attrae verso il basso sarà notevole.

 Non dimentichiamoci però che, dal nostro punto di vista, l'accelerazione di gravità è indistinguibile da un'accelerazione "inerziale" - come quella che sperimentiamo in auto quando premiamo l'acceleratore. Dato che ad un accelerazione maggiore corrisponde una dilatazione temporale maggiore (rispetto al solito osservatore lontano dal campo gravitazionale), deduciamo che più è intensa la gravità e più il nostro tempo risulterà dilatato.

 Possiamo allora chiederci: di quanto è dilatato il nostro tempo rispetto a un osservatore nello spazio? La formula per risponderci è la seguente:

 dove tT rappresenta la durata di un secondo sulla Terra, tS la durata di un secondo nello spazio, G è la Costante di Gravitazione Universale, M la massa del corpo che genera il campo gravitazionale (la Terra in questo caso), r è la distanza dal centro di quest'ultimo corpo e c è la velocità della luce nel vuoto.

 I valori precisi sono:
  • G = 0,0000000000667 N m2/Kg2
  • M = 5972000000000000000000000 Kg
  • r = 6371000 m (è il Raggio Terrestre al livello del mare)
  • c = 300000000 m/s

 A questo punto il conto è piuttosto semplice: ogni secondo sulla Terra dura 1,0000000007 volte in più di un secondo nello spazio. Ciò significa che ogni poco più di 45 anni il tempo segnato da un orologio posto sulla Terra va in ritardo di un secondo rispetto a un orologio posto nello spazio. Potrebbe sembrare un effetto insignificante, ma se non lo tenessimo in considerazione l'intera tecnologia GPS non potrebbe funzionare a dovere. In effetti, quest'ultima si basa sul continuo scambio di informazioni tra osservatori posti sulla terra e satelliti in orbita (e merita certamente un articolo dedicato). Queste comunicazioni avvengono ovviamente mediante onde elettromagnetiche, che sono molto sensibili alla dilatazione gravitazionale del tempo.

 Ma veniamo finalmente all'affermazione apparentemente assurda nel titolo: è vero che un giorno a Venezia dura più di uno a Enna?

 Enna si trova a poco più di 900 metri sul livello del mare, mentre Venezia ha un'altitudine praticamente nulla. Di conseguenza, dal momento che Enna è più lontana dal centro della Terra, la forza di gravità è qui leggermente meno intensa rispetto a quella misurata a Venezia. Ricordiamo però che a una maggior forza di gravità corrisponde una maggior dilatazione temporale, il ché ci porta a concludere che effettivamente il tempo di Venezia risulti dilatato rispetto a quello di Enna. Strano ma vero!

 Per farci un'idea è sufficiente inserire i dati nella formula precedente, ricordandoci che al raggio terrestre riferito ad Enna dobbiamo aggiungere i 900 metri di dislivello. Quello che troviamo è questo:
  • Un secondo a Venezia dura 1,0000000006947 volte in più di un secondo nello spazio (è lo stesso risultato di prima ovviamente).
  • Un secondo a Enna dura 1,0000000006946 volte in più di un secondo nello spazio.
 È evidente, come d'altronde prevedibile, che lo sfasamento è ridicolo; tuttavia, per quanto insignificante possa essere, è comunque presente.

 Possiamo calcolare rapidamente quanto tempo occorre perché il tempo di Enna si sfasi di un secondo rispetto a quello di Venezia. Per farlo basta calcolare la differenza tra gli sfasamenti rispetto a un osservatore nello spazio, e si ottiene subito che un secondo a Venezia dura 1,0000000000001 secondi a Enna. Lo sfasamento (di un decimo di millesimo di miliardesimo di secondo!) genererà un secondo in più ogni 317098 anni

 Per riassumere il tutto, immaginiamo che un homo erectus particolarmente intelligente sia riuscito a costruire due orologi precisissimi 300000 anni fa e che ne abbia posto uno sul livello del mare e uno a quasi 1000 metri di altitudine. Se oggi entrambi gli orologi venissero recuperati si noterebbe che i due sono sfasati di un secondo!


Conclusioni

 In questo articolo ci siamo occupati della Dilatazione Gravitazionale del Tempo, un fenomeno analogo alla Dilatazione dei Tempi che si verifica in presenza di un campo gravitazionale. Dopo aver spiegato in cosa consiste il fenomeno abbiamo cercato di farci un'idea quantitativa calcolando la dilatazione del tempo al livello del mare rispetto a quello in montagna (1000 metri). Quello che abbiamo scoperto è che l'entità dell'effetto è davvero ridicola. Ciononostante, la dilatazione del tempo dovuta alla gravità va tenuta in considerazione nello sviluppo della tecnologia GPS. A parte quest'ultima eccezione, possiamo concludere che tale fenomeno - molto importante quando si parla di buchi neri o stelle di neutroni - nella vita di tutti i giorni resta sostanzialmente una curiosità. 

 Spero che l'articolo ti sia piaciuto, in tal caso non dimenticare di condividerlo!

Giulio


Immagini tratte da:
memecollection.net
https://it.wikipedia.org/wiki/Massa_%28fisica%29
www.gps.gov

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