martedì 26 aprile 2016

L'Atomo di Bohr

È passato un po' dall'ultima volta che abbiamo parlato di Fisica Quantistica e i tempi sono ormai maturi per un articolo sull'Atomo di Bohr. Si tratta di un Modello Atomico, proprio come quelli di Thomson e Rutherford, ma che concilia finalmente la struttura atomica con l'ipotesi di quantizzazione dell'energia. Per farla breve, l'Atomo di Bohr ha segnato in maniera indelebile un'epoca, al punto che oggi si fa risalire a questo modello atomico la nascita della "Vecchia Meccanica Quantistica", di cui ci siamo occupati finora. Oggigiorno il modello di Bohr è probabilmente quello a cui i più pensano quando gli viene chiesto "com'è fatto un atomo?". Ma in che cosa constiste l'Atomo di Bohr? Cos'ha di tanto eccezionale? Come può essere testato sperimentalmente?




 Ipotesi e Obiettivi del Modello Atomico di Bohr

 Prima di cominciare: vi ricordate perché stiamo parlando di Modelli Atomici? Sul finire del 1800 ci si era occupati di descrivere lo spettro elettromagnetico di emissione dei vari elementi chimici. Si decise di partire con l'atomo più leggero - l'Idrogeno - dal momento che si sospettava (giustamente) che un minor peso riflettesse una minor complessità del sistema da studiare. Di fatto però, per più di cinquant'anni nessuno riuscì a dare una spiegazione soddisfacente del perché le righe spettrali si distribuissero come si era osservato.

 Pertanto, l'obiettivo di Niels Bohr era proprio quello di porre fine alla ricerca fornendo finalmente un modello in grado di fare previsioni accurate non solo sullo spettro dell'Idrogeno ma anche di tutti gli altri elementi chimici! Tale risultato sarebbe stato raggiunto solo se tale Modello Atomico avesso riprodotto l'Equazione di Rydberg *(di cui abbiamo già parlato. Si tratta di una formula trovata "ad hoc" per descrivere la posizione delle righe spettrali dell'Idrogeno. Funziona, ma nessuno capiva perché: ecco perché era necessario un modello che la riproducesse) .

 L'Atomo di Bohr si basa su tre ipotesi:
  • Gli elettroni si muovono attorno al nucleo atomico lungo orbite circolari e stazionarie (ovvero tali orbite non cambiano nel tempo)
  • Il momento angolare associato a ciascuna orbita è un multiplo intero della costante di Planck dimezzata. In altre parole, all'orbita più vicino al nucleo si associa un momento angolare pari a questa costante, per la seconda tale valore viene raddoppiato, per la terza triplicato, e così via...
  • Quando un elettrone passa da un'orbita più energetica (più lontana dal nucleo) a una meno energetica (più vicina) emette un fotone di energia pari alla differenza di energia delle due orbite. Allo stesso modo è possibile far passare un elettrone da un'orbita meno energetica a una più energetica solamente fornendogli energia, ad esempio facendogli assorbire un fotone o lanciandogli contro un altro elettrone molto energetico. Abbiamo già incontrato un meccanismo simile a proposito dei Laser e della Termoluminescenza.
 Tutte e tre le ipotesi sono importanti, ma per ragioni diverse. 

 La prima - quella che riguarda la stazionarietà delle orbite - affronta un problema che al tempo non aveva soluzione: non si riusciva a spiegare come mai gli elettroni non collassavano sul nucleo atomico. Bohr non diede una vera risposta a questo quesito, ma lo eluse con quest'ipotesi. In effetti - come vedremo tra poco - è comunque possibile giustificare le prime due richieste del Modello Atomico di Bohr partendo dall'Ipotesi di De Broglie (che abbiamo già incontrato qui). Ad ogni modo, per arrivare a una soluzione soddisfacente bisognerà aspettare il 1927, con la formulazione del Principio di Indeterminazione di Heisenberg.

 La seconda ipotesi consiste nella Quantizzazione del Momento Angolare, che va quindi ad aggiungersi alle altre grandezze quantizzate come carica elettrica ed energia. Possiamo tentare di giustificare questa e la precedente ipotesi col seguente ragionamento:
  1. De Broglie aveva supposto che la materia presentasse proprietà ondulatorie, proprio come la luce.
  2. Se l'ipotesi è verificata, ci aspettiamo di poter associare agli elettroni una frequenza e una lunghezza d'onda. A sostegno di quest'ipotesi sono stati condotti moltissimi esperimenti, come quello dei Fori di Young, di cui ci siamo già occupati.
  3. Immaginiamo allora che un elettrone non sia altro che un'onda che "viaggia" attorno al nucleo atomico. Possiamo figurarcelo un po' alla buona come una fune che descrive una serie di onde, tutte con la stessa lunghezza. Questa fune deve però seguire un percorso chiuso, quindi alla fine le due estremità della corda devono combaciare.
  4. Dato che le onde devono avere tutte la stessa lunghezza, è facile capire che non tutte le funi possono descrivere queste increspature e al contempo avere le estremità coincidenti. Anzi, saranno ammesse solo quelle funi che descrivono un numero intero di arricciature, e quindi possono far combaciare i due apici.
  5. Se infine associamo un momento angolare a ciascuna di queste funi, che poi non rappresentano altro che le orbite degli elettroni, capiamo come mai anche il momento angolare dev'essere quantizzato. In breve, sono ammessi solo quei valori del momento angolare che corrispondono a una corda con le estremità coincidenti.
 Ma veniamo alla terza ipotesi, che riguarda l'energia delle onde elettromagnetiche emesse quando un fotone "scende" in un'orbita più prossima al nucleo. Questa è forse la supposizione che ci interessa di più, perché è associata direttamente alla frequenza delle righe dello spettro atomico, che possiamo osservare direttamente. Per farla breve, l'importanza di quest'ipotesi sta nel fatto che permette di collegare le altre due supposizioni alla Formula di Rydberg: il vero obiettivo di questo modello.


L'Atomo di Bohr funziona!

 Il titolo ha già detto tutto! Ma andiamo con ordine...

 Ricordiamo che lo scopo principale di questo modello è riprodurre la posizione delle righe dello spettro dell'atomo di Idrogeno. Fino a quel momento, si era capito solamente che queste si distribuivano secondo quanto dettato dall'Equazione di Rydberg.
La Formula di Rydberg **(dove R rappresenta la costante di Rydberg. Non ci interessa il significato degli altri termini.)
 Quest'equazione funzionava davvero bene, ma aveva un problema: era del tutto sperimentale. In sostanza, prevedeva la posizione delle righe spettrali ma non si capiva perché. Ma torniamo all'Atomo di Bohr...

 Partendo dalle tre ipotesi di prima è possibile impostare alcune  semplici equazioni, e sviluppandole si arriva a risultati davvero interessanti. Ora, sul blog cerco di ridurre al minimo formule e conti, ma vi assicuro che sono procedimenti davvero elementari! Nel complesso questi conti permettono di capire come funziona l'Atomo di Bohr, ma a noi interessa una conclusione in particolare. Dalle tre ipotesi si arriva a questa equazione:
 

 Notiamo subito la somiglianza tra questa formula e quella di Rydberg, ma basta sostituire a ciascun simbolo il numero corrispondente e si trova che il fattore che moltiplica la parentesi è proprio uguale alla costante di Rydberg!

 Insomma, il modello di Bohr riproduce l'equazione di Rydberg, e in definitiva la posizione delle righe dello spettro dell'atomo di Idrogeno. Per la prima volta si fu in grado di spiegare matematicamente lo spettro dell'atomo di Idrogeno: un risultato epocale, che valse a Niels Bohr il premio Nobel.

Lo spettro dell'Idrogeno
 Il limite di questo modello emerge nel momento in cui si cerca di studiare atomi con più di un elettrone. Se con due particelle in orbita attorno al nucleo si commette un piccolo errore applicando questa formula, l'imprecisione cresce molto rapidamente mano a mano che gli atomi da studiare diventano più complessi.

Le prove sperimentali

 L'Atomo di Bohr descrive lo spettro degli atomi con un solo elettrone (chiamati Idrogenoidi) con una precisione sorprendente, ma ha un difetto che poteva non essere visto di buon occhio dagli altri fisici. Le ipotesi su cui si basa il modello sono davvero molto forti. D'altronde cosa ci assicura che il momento angolare sia quantizzato, che il funzionamento dell'atomo sia proprio quello descritto da Bohr e che le orbite degli elettroni siano effettivamente stazionarie? È vero, il modello funziona, ma si basa su delle assunzioni decisamente troppo audaci.

 Per testare la veridicità di questo modello occorreva come minimo effettuare degli esperimenti, come ad esempio l'Esperimento di Franck-Hertz. L'esperimento consisteva in questo:
James Franck
"In un tubo pieno di gas di mercurio a bassa pressione sono posti un anodo e un catodo a tensioni diverse. In questo modo gli elettroni liberi sono spinti a muoversi verso l'anodo. Tra i due inoltre è presente una lastra in grado di accelerare le particelle cariche che la attraversano. Dal catodo vengono emessi elettroni per effetto termoionico, che quindi sono costretti a viaggiare attraverso la lastra acceleratrice verso l'anodo. È possibile misurare la corrente che scorre nel circuito in funzione della differenza di tensione tra anodo e catodo."
 Quello che si osserva è un comportamento di questo tipo:
 Il ché può essere spiegato solamente in questo modo:
Gustav Hertz
"Gli elettroni emessi dal catodo impattano sugli atomi di mercurio fornendo energia agli elettroni in orbita. Finché l'energia cinetica degli elettroni emessi dal catodo è insufficiente a far cambiare orbita agli elettroni del mercurio la corrente è in buona approssimazione proporzionale al voltaggio. Ma non appena l'energia degli elettroni liberi diventa abbastanza elevata ecco che uno degli elettroni degli atomi di merurio passa in un'orbita più energetica. Ciò avviene a spese dell'energia dell'elettrone incidente, che quindi si ferma facendo registrare un significativo calo della corrente. In effetti, la differenza di energia che separa due "picchi" consecutivi corrisponde proprio a una delle righe spettrali del mercurio!"
Pertanto l'Esperimento di Franck-Hertz permise di verificare la terza ipotesi dell'Atomo di Bohr, e i due ricevettero il premio Nobel. Altre prove del modello giunsero, come il fatto che l'Atomo di Bohr permetteva di ricavare la Legge di Moseley: una relazione osservata ma non supportata di basi teoriche, di cui non possiamo occuparci senza allungare ulteriormente l'articolo.

Conclusioni

 In questo post ci siamo occupati dell'Atomo di Bohr, una delle conquiste più importanti della Fisica del primo Novecento. Siamo partiti dalle tre ipotesi su cui si basa il modello: la stazionarietà delle orbite degli elettroni attorno al nucleo atomico, la quantizzazione del momento angolare e la relazione tra la differenza energetica tra due orbite e l'energia del fotone emesso da un elettrone che passa dalla più energetica delle due all'altra. Quindi abbiamo scoperto che l'Atomo di Bohr riproduce la Formula di Rydberg, e di conseguenza è in grado di descrivere lo spettro dell'atomo di Idrogeno. Infine abbiamo analizzato l'Esperimento di Franck-Hertz, un'importante prova sperimentale del modello.
Grazie per aver letto fin qui,

Giulio



Immagini tratte da:
http://www.labella.altervista.org/Physics_notes/hydrogen_atom.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_spectral_series
http://www.jewornotjew.com/profile.jsp?ID=2091
https://it.wikipedia.org/wiki/Esperimento_di_Franck-Hertz
http://www.britannica.com/biography/Gustav-Hertz

Nessun commento:

Posta un commento