martedì 29 marzo 2016

Il Paradosso di Zenone

 Appena due settimane fa ci siamo occupati del Paradosso dei Gemelli. L'articolo ha riscosso un discreto successo, per cui ho pensato di pubblicare un post più matematico dedicato a un altro famoso paradosso: il Paradosso di Zenone. In realtà si tratta di un certo numero di paradossi, tutti risolvibili in modo analogo, tra i quali spicca quello di Achille e la tartaruga. Si tratta di un'argomentazione proposta dal filosofo Zenone di Elea, in difesa della tesi del suo maestro Parmenide secondo la quale "l'Essere è immobile". Il Paradosso di Zenone fu risolto matematicamente solo nel 1647, ad opera del gesuita Gregorio da San Vincenzo, ovvero più di duemila anni dopo la sua prima formulazione! Ma in cosa consiste il Paradosso di Achille e la tartaruga? E come può essere risolto?


Il Paradosso di Zenone

 Nella sua formulazione originaria il Paradosso può essere riassunto in questo modo:
"Achille si ritrova a dover gareggiare in velocità contro una tartaruga. Sentendosi molto sicuro di sè lascia però che il rettile parta con un metro di vantaggio, e pone il traguardo a cento metri di distanza dal suo punto di partenza. L'atleta è in grado di correre dieci volte più veloce della tartaruga.

Viene dato il via, e immediatamente i due scattano: Achille copre rapidamente il metro che lo separa dalla tartaruga, ma quest'ultima nel frattempo ha percorso un decimetro *(ricordiamo infatti che la tartaruga corre dieci volte più lentamente di Achille) . A questo punto l'atleta percorre in un lampo il decimetro che lo separa dalla tartaruga, ma questa ancora una volta riesce a distanziarlo di un centimetro. Nuovamente Achille percorre quel centimetro, e la tartaruga lo distanzia di un millimetro. Procedendo in questo modo si conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga, il ché è chiaramente assurdo. Zenone conclude quindi che l'Essere deve essere immobile."


 















Niente male come argomentazione, non vi pare? Gli altri Paradossi di Zenone seguono un ragionamento analogo: si parte da un intervallo (che può essere sia spaziale che temporale) e lo si suddivide infinite volte.

 Dato però che l'intuito ci suggerisce che prima o poi Achille supererà la tartaruga, possiamo chiederci a quale distanza dal punto di partenza avverrà il sorpasso. Per rispondere basterà sommare al metro di vantaggio iniziale il decimetro percorso dalla tartaruga, e a quest'ultimo il centimetro percorso successivamente, e quindi il millimetro, e così via... Zenone sembra assumere che questa somma dia un risultato infinito, ma come stiamo per vedere non è sempre così.

La Serie Geometrica

 Prima di proseguire è bene definire il concetto di Serie Numerica. In poche parole si tratta di una somma di infiniti numeri. Questi possono essere scelti con diversi criteri, e non necessariamente la loro somma raggiungerà l'infinito. Non a caso le Serie vengono suddivise in due categorie proprio seguendo questo criterio:
  • Serie Convergenti, se il loro risultato è finito.
  • Serie Divergenti, se il loro risultato è infinito.
 Per farci un'idea, se proviamo a sommare tutti i numeri naturali otteniamo questo:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+...

è evidente che la somma non può dare un risultato finito. La Serie sarà quindi divergente. Una serie convergente invece si potrebbe ottenere sommando tutti i numeri decimali compresi tra -1 e 1:

1+(-1)+0.999999+(-0.999999)+0.999998+(-0.999998)+0.999997+(-0.999997)+...

In tal caso i termini si semplificano uno a uno, e il risultato finale non sarà certamente infinito (pur sommando infiniti numeri).

 Occupiamoci allora di una serie particolare, chiamata Serie Geometrica. Ottenerla è facile:
  1. Si parte da un numero indicato con q e chiamato Ragione. In generale q può essere sia positivo che negativo, ma noi considereremo solo il caso in cui q è maggiore di 0.
  2. Si eleva q ad esponente 0 (e si ottiene 1, a meno che q non sia proprio uguale a 0).
  3. Si eleva q ad esponente 1 (e si ottiene proprio q) e si somma tale numero a quello calcolato al punto precedente.
  4. Si eleva q ad esponente 2 e si somma al risultato precedente.
  5. Si eleva q ad esponente 3 e si aggiunge alla precedente somma.
  6. Si procede in questo modo elevando q a tutti gli altri numeri naturali e si ottiene la Serie Geometrica.
 Ora, il procedimento riportato qui sopra permette di ottenere una somma S di questo tipo:

S = 1+q+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9+...

 Possiamo accettare senza difficoltà che se il numero q è pari o superiore a 1 la Serie Geometrica divergerà, quindi supponiamo che q sia compreso strettamente tra 0 e 1. Restringerci a questo caso è importante, perchè il Paradosso di Zenone può essere ricondotto a una Serie Geometrica di questo tipo. Possiamo allora ragionare matematicamente sull'equazione scritta sopra e "raccogliere" il termine q, in modo da ottenere questo:


S = 1+q(1+q+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+...)

 Ma ci accorgiamo subito che il termine tra parentesi non è altro che la stessa Serie Geometrica S, e quindi possiamo scrivere:

S = 1 + qS

 A questo punto è sufficiente esplicitare S per trovare:

S = 1/(1-q)
Simbolicamente, la Serie Geometrica si indica così
 In breve, se la ragione q è in modulo minore di 1, non solo la Serie Geometrica è convergente ma è possibile calcolarne il risultato **(il ché è tutt'altro che scontato in questo campo della matematica) .

 Mi scuso per questi (pochi) conti, ma saranno ciò che ci consentirà tra qualche riga di risolvere un Paradosso di duemilacinquecento anni!

Ricondurre il Paradosso di Zenone a una Serie Geometrica

 Torniamo infine al Paradosso di Zenone, e chiamiamo L la distanza a cui avviene il sorpasso. Come scritto poco fa, questa sarà la somma di un metro, un decimetro, un centimetro, un millimetro,... O, in termini matematici:

L = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + 0.00001 +...

 Possiamo riscrivere i vari addendi come i terimini di una Serie Geometrica di ragione 0.1. Infatti:

L = 1+0.1+(0.1)2+(0.1)3+(0.1)4+(0.1)5+(0.1)6+(0.1)7+(0.1)8+(0.1)9+...

 Insomma, sfruttando la formula che abbiamo ricavato poco fa è possibile calcolare dopo quanti metri avverrà il sorpasso:

L = 1/(1-0.1) = 1/(0.9) = 1.111111... (1 virgola 1 periodico)

 Il ché, in effetti, non è molto diverso da quello che ci aspettavamo! Il punto è che la matematica ci permette di concludere che il sorpasso avverrà eccome, al contrario di quanto affermava Zenone. Questo non significa però che le tesi di Parmenide - che si volevano dimostrare - sono false, ma solo che i ragionamenti adottati dal suo discepolo non sono matematicamente validi.

Conclusioni

 In questo breve articolo abbiamo analizzato il Paradosso di Zenone, un'argomentazione costruita per sostenere l'immobilità dell'Essere di Parmenide. Per affrontarlo matematicamente è stato necessario introdurre il concetto di Serie, e in particolare di Serie Geometrica, entrambi ben noti nel mondo scientifico. Quello che è emerso è che il Paradosso di Zenone è riconducibile a una Serie Geometrica di ragione 0.1, e pertanto convergente. In poche parole, Achille riuscirà a superare la tartaruga e a vincere la corsa.
Grazie per aver letto fin qui,

Giulio



Immagini tratte da:
http://www.riflessioni.it/scienze/paradosso-achille-tartaruga.htm
giornalinoliceotelesio.altervista.org
www.guidapet.com
http://proooof.blogspot.it/2011/12/la-serie-geometrica.html
http://www.filosofico.net/zenone.html 

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