martedì 15 marzo 2016

Il Paradosso dei Gemelli

 Questo post è dedicato a uno dei paradossi più famosi scaturiti dalla Relatività Ristretta: il Paradosso dei Gemelli. Si tratta di una conseguenza davvero stupefacente della Dilatazione del Tempo, fenomeno che abbiamo già discusso mesi fa, e che può portare due gemelli a credersi ciascuno più vecchio dell'altro! Vediamo allora in cosa consiste, e soprattutto come può essere spiegato a partire dal fatto che la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ecco una breve formulazione del Paradosso dei Gemelli:



"Immaginate che due fratelli gemelli, Igor e Ivan, vengano separati alla nascita. Igor rimane sulla Terra e trascorre una vita serena, mentre a Ivan tocca un destino più infausto: viene chiuso nell'abitacolo di un'astronave e spedito nello spazio. La navicella in cui è rinchiuso Ivan viaggia verso il centro della Galassia a 180000 kilometri al secondo: il 60% della velocità della luce. Dopo 20 anni di viaggio Ivan riesce a comprendere il funzionamento dell'astronave e inverte la rotta, per raggiungere la Terra dopo altri 20 anni. Una volta ritrovato il gemello però scopre che questi è visibilmente più vecchio di lui."
 Si tratta di un effetto previsto dalla Relatività Ristretta ed è stato realmente verificato così tante volte che ormai nessuno lo considera più stupefacente. Ma vediamo un po' cosa è successo nel corso di questi 40 anni: Cosa può portare uno dei due gemelli ad essere più giovane dell'altro? E soprattutto, dove sta il paradosso?

Perché il gemello sull'astronave è più giovane?

 Cominciamo col riprendere la dilatazione dei tempi. Come ricorderà chi ha letto l'articolo dedicato a questo fenomeno, il tempo scorre più lentamente per un oggetto che si sta muovendo. E l'effetto è tanto più intenso quanto più la velocità di quest'ultimo si avvicina a quella della luce (300000 kilometri al secondo).

 Per convincerci fino in fondo di quest'idea vorrei proporre una delle pochissime dimostrazioni "matematiche" presenti sul blog. Si tratta semplicemente di applicare il Teorema di Pitagora, quindi non c'è da preoccuparsi!

 Immaginiamo di costruire un orologio particolare. Questo è costituito da due specchi paralleli tra i quali continua a rimbalzare un raggio laser (che ovviamente si propaga alla velocità della luce). Un'unità di tempo, come un millisecondo ad esempio, è scandita ogni volta che il raggio passa da uno specchio all'altro. Qui sotto ho cercato di rappresentare graficamente il meccanismo:

 

Si tratta di un orologio estremamente preciso, dato che è basato sulla velocità della luce - che è costante in tutti i sistemi di riferimento. 

 Immaginiamo di disporre di uno di questi orologi, e di metterlo su un treno fermo. In queste condizioni, il nostro dispositivo indica che la durata di un millisecondo è
Dove tF è la durata di un millisecondo quando l'orologio è fermo, L è la distanza tra i due specchi e c la velocità della luce
 Infatti il raggio laser, che si muove a velocità c, percorre in un millisecondo la distanza che separa i due specchi.

 Una volta che abbiamo preso nota di ciò aspettiamo che il treno parta e rieffettuiamo la misura. Adesso il treno - e quindi l'orologio -  si sta muovendo a velocità v, quindi la distanza che il raggio laser deve percorrere per scandire un millisecondo è aumentata! Lo si può capire meglio da questo disegno:
 Basta applicare il Teorema di Pitagora per trovare la distanza percorsa dal raggio laser e dividerla per la velocità della luce per trovare che la durata di un millisecondo per l'orologio in moto è
Dove tM rappresenta la durata di un millisecondo per l'orologio in movimento, tF quella per l'orologio da fermo, v è la velocità del treno e c quella della luce.
che è la stessa di prima a meno del termine sotto radice quadrata. Quest'ultimo è sempre minore di 1, ma essendo un denominatore ha l'effetto di aumentare la durata di un millisecondo per l'orologio in moto.

 Insomma, abbiamo dimostrato che un millisecondo per un osservatore in moto è maggiore della durata di un millisecondo per un osservatore fermo. In parole povere: il tempo scorre più lentamente per un oggetto che si sta muovendo!

Si capisce immediatamente perché Ivan, il gemello che ha viaggiato sull'astronave a velocità molto elevata, sia più giovane di Igor. Il suo tempo è stato rallentato nel corso dei 40 anni di viaggio!

Il paradosso dei gemelli

 Anche se il fenomeno può risultare difficile da accettare, in tutto ciò non c'è finora nulla di paradossale. Il gemello sull'astronave sarà effettivamente più giovane del fratello. Ma allora dove sta il Paradosso dei Gemelli?

 Per accorgerci che qualcosa non va possiamo cercare di metterci nei panni di Ivan: il gemello sull'astronave. Dal suo punto di vista è la Terra, e quindi Igor, che si allontana ad alta velocità. Insomma, Ivan può pensare che in realtà lui sia fermo e la Terra si muova. Ma allora, sempre dal punto di vista di Ivan, sarà il tempo di Igor a essere rallentato. Al suo ritorno, Ivan troverà il gemello più giovane di lui!

 Ecco quindi l'essenza del Paradosso dei Gemelli: al termine del viaggio Ivan troverà Igor più giovane di lui e Igor troverà Ivan più giovane di lui! Ciascun gemello ha motivo di credere di essere il più vecchio dei due. Ma chi ha ragione?

 Il paradosso non può essere risolto in maniera completa utilizzando la sola Relatività Ristretta *(che è la stessa teoria che prevede la dilatazione dei tempi) , ma trova una soluzione soddisfacente solo nell'ambito della più ampia Relatività Generale. Ad ogni modo, anche noi possiamo farci un'idea di chi ha ragione tra Ivan e Igor.

 Il punto focale della questione sta nelle ipotesi su cui si basa la Relatività Ristretta, dalle quali deriva fra le altre cose anche la dilatazione dei tempi. Le assunzioni sono due:
  • Lo spazio è omogeneo e isotropo e il tempo è omogeneo. L'isotropia significa essenzialmente che nello spazio non esiste nessuna direzione privilegiata (a differenza del tempo, che scorre solo in una direzione), mentre l'omogeneità si riferisce al fatto che spazio e tempo si presentano sempre uguali indipendentemente da dove e quando li si considera.
  • Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali **(Se non sapete cosa significa "inerziali" aspettate qualche riga) . Questa è l'ipotesi chiave, da cui deriva l'immutabilità della velocità della luce nei sistemi di riferimento inerziali, e da questa anche la dilatazione dei tempi.
 Nelle due assunzioni compare una richiesta davvero fondamentale: i sistemi di riferimento in cui le leggi fisiche non cambiano sono quelli inerziali. Ma che significa?

Un sistema di riferimento si dice inerziale se non è soggetto a un'accelerazione. 

 In parole povere, la Relatività Ristretta vale solo per chi si trova in un sistema di riferimento non accelerato.

 Questo non è però il caso di Ivan, il gemello sull'astronave. Concentriamoci un istante sul suo moto: per partire dalla Terra e raggiungere la velocità di volo l'astronave deve accelerare. Una volta che Ivan trova il modo di invertire la rotta la velocità viene variata ancora una volta, e quindi il gemello in viaggio è soggetto a un'accelerazione. Infine, quando ritorna sulla Terra l'astronave deve rallentare fino a fermarsi, ed ecco l'ennesima variazione di velocità.

 Insomma, nel corso di tutto questo tempo il gemello sull'astronave è stato soggetto almeno 3 volte a un'accelerazione, e quindi non può dire di trovarsi in un sistema di riferimento inerziale! Ivan non potrà mai trovare suo fratello più giovane, perchè non si trova in un sistema di riferimento adatto ad utilizzare la Relatività Ristretta! Ma c'è un problema, e il Paradosso dei Gemelli non si conclude così...

 Nemmeno Igor, il gemello rimasto a terra, si trova in un sistema di riferimento inerziale: la velocità della Terra è in continua variazione. Tra moto di rotazione attorno al proprio asse e di rivoluzione attorno al Sole anche il nostro pianeta è continuamente accelerato, pertanto neanche Igor potrebbe servirsi della Relatività Ristretta. Ad ogni modo, possiamo convincerci senza sforzo di trovarci in un sistema di riferimento meno accelerato di quello della navicella, e quindi di essere "più vicini" al caso di un osservatore inerziale.

 In breve, utilizzando la Relatività Ristretta il gemello rimasto a terra commette un errore di minore entità rispetto a quello riportato dal fratello. Pertanto possiamo essere ragionevolmente sicuri che al termine del viaggio Ivan sarà più giovane di Igor.

Conclusioni

 Oggi ci siamo occupati di uno dei paradossi più famosi della Relatività Ristretta: il Paradosso dei Gemelli. Dopo aver illustrato la dilatazione dei tempi - il fenomeno su cui si basa il paradosso - abbiamo cercato di risolvere la questione e di capire quale gemello sia effettivamente più giovane al termine del viaggio. Per riuscirci abbiamo anche affrontato i principi su cui si basa la Teoria della Relatività Ristretta e definito i sistemi di riferimento in cui questa è "più valida". Spero che l'articolo ti sia piaciuto.
Grazie per aver letto fin qui,

Giulio

2 commenti:

  1. Ciao Giulio grazie per l'interessante articolo! Nonostante avessi letto vari siti riguardo questo argomento non avevo mai capito a fondo il paradosso, ma grazie alla tua grande abilità di divulgatore mi è stato possibile colmare molte lacune, e di questo ti ringrazio molto!

    p.s. nell'immagine con le due frecce rosse, esse non dovrebbero avere verso opposto? Il treno si muove verso destra quindi un osservatore esterno "vedrebbe" il laser muoversi verso sinistra; anche se in effetti la somma tra i due vettori velocità (del treno e del laser) da come risultato il vettore che hai disegnato. Probabilmente faccio confusione con i sistemi di riferimento

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    1. Ciao, innanzitutto grazie per il commento, sono molto contento di esserti stato d'aiuto :-) per quanto riguarda la frecce rosse io avevo pensato al fatto che il laser deve in qualche modo "seguire" gli specchi, e quindi bisognerà modificare la sua angolazione in modo da non "perderlo per strada", ma anche adottando il tuo punto di vista la dimostrazione non cambia ;-)

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