mercoledì 9 settembre 2015

La contrazione delle lunghezze e la costanza di c

Ciao a tutti amanti della fisica!
  Prima di cominciare l'articolo di oggi vi propongo un esperimento. Seguite questo procedimento:
  1. Prendete un oggetto qualunque
  2. Misuratene la lunghezza
  3. Scagliatelo il più lontano possibile
  4. Mentre è in volo misuratene ancora la lunghezza
 Immagino che nessuno di voi abbia trovato il modo di misurare direttamente la lunghezza dell'oggetto mentre questo è in volo (attenzione che non funziona se cercate di fotografarlo e di misurarne la lunghezza dalla fotografia!). Comunque, almeno in linea di principio, ci aspettiamo di misurare la stessa lunghezza in entrambi i casi, giusto?


SBAGLIATO


 Quando l'oggetto sarà in movimento, la sua lunghezza sarà sempre minore rispetto a quella che potete misurare quando è fermo. E tanto più veloce si starà muovendo tanto più piccola sarà la sua lunghezza. Questo fenomeno è conosciuto come contrazione delle lunghezze ed è uno degli effetti meno intuitivi previsti dalla Relatività Ristretta.
La costanza di c

 Alla base di questa fenomeno si trova la costanza della velocità della luce, di cui si è già parlato in quest'articolo. Dato però che il comportamento della luce è piuttosto difficile da comprendere, e poiché salterà fuori di continuo in futuro, non guasta fare un esempio in più per chiarire il concetto. Vediamo quindi di spiegare come si comporta la luce facendo un'analogia che tutti possiamo capire. 
 Immaginiamo di essere in autostrada alla guida di una Ferrari. Davanti a noi troviamo un automobilista, che rappresenterà un raggio di luce. Immaginiamo dunque che l'automobile davanti a noi si stia muovendo alla velocità c. Che significa che c è costante? Supponiamo di aver sopravvalutato le prestazioni della nostra Ferrari e di poter sperare di superare l'auto davanti a noi. Così ci spostiamo nella corsia di sorpasso e schiacciamo l'acceleratore. In linea di massima cosa ci aspettiamo? Se prima vedevamo l'auto muoversi a velocità c quello che immaginiamo è che, mano a mano che acceleriamo, questa ci sembrerà sempre più lenta rispetto a noi, fino al punto in cui non diventeremo più veloci di essa. A quel punto l'auto-luce ci sembrerà muoversi all'indietro, e noi potremo completare il sorpasso.

Cosa succede invece con la luce? Appena cominciamo il sorpasso anche l'auto davanti accelera, in modo
che la sua velocità rispetto a noi sia sempre c! Non importa quanto a fondo premiamo l'acceleratore: non potremo mai superare l'auto perché questa farà sempre in modo di muoversi più velocemente di noi. Per la precisione, indipendentemente da quale sia la nostra velocità, l'auto che abbiamo davanti farà sempre in modo di muoversi a velocità c *(A voler essere precisi, questo ragionamento vale solo per sistemi che si muovono a velocità costante, e quindi non accelerano. Comunque, è dello stesso ordine di idee) .

 La cosa più sorprendente non è tanto questa, quanto il fatto che se due persone che si muovono a velocità diversa guardano quest'auto, entrambe la vedranno muoversi a velocità c. Insomma, se sul nostro tragitto incontrassimo un autovelox questo registrerebbe che l'auto-luce si muove sempre a velocità c.

Insisto solo un'ultima volta su questo punto e poi procediamo:
Se noi viaggiamo a velocità v, l'auto-luce per noi si sta muovendo a velocità c. Per l'autovelox, che è fermo, l'auto-luce si sta muovendo a velocità c (e non a velocità v+c come ci aspetteremmo). Insomma, indipendentemente da quale sia il nostro stato di moto, la luce avrà per noi sempre la stessa velocità. Questo comporta ovviamente che il mondo si mostri diversamente per ognuno di noi, a seconda della nostra velocità; ogni fenomeno risulterà quindi relativo allo stato di moto di chi lo osserva. Questo è il motivo per cui la teoria viene chiamata Relatività.

Una prima conseguenza della costanza di c:
Contrazione delle lunghezze


  Vediamo allora un primo esempio delle svariate conseguenze di questo fatto **(in particolare del fatto che la luce non si propaga a velocità infinita) . Riprendendo l'esempio comparso a inizio articolo, immaginiamo di avere a disposizione un oggetto: un giavellotto. Misuriamo questa specie di lancia prima di lanciarla e troviamo che è lunga due metri (non ho idea di quanto sia lungo un giavellotto in realtà). Lo lanciamo e, mentre è in volo, riflettiamo sul ragionamento che segue. L'unico modo che abbiamo di misurare la lunghezza del giavellotto mentre è in volo è quello di guardare la luce riflessa dai suoi estremi in ogni istante (nel disegno seguente la luce riflessa è rappresentata dai due raggi). Graficamente quello che vediamo è questo:


 Il giavellotto si sta muovendo a velocità v verso sinistra, allontanandosi dal lanciatore che osserva la scena. Chiaramente il primo raggio, che identifica l'estremo posteriore della lancia, giungerà all'osservatore prima del secondo, che identifica invece l'estremo anteriore. Attenzione però! Il giavellotto si sta muovendo, quindi in ogni istante l'osservatore non riceverà due raggi prodotti contemporaneamente. Per capirlo meglio studiamo la "storia" dei due raggi:
  1. il secondo raggio viene riflesso dalla punta della lancia, e si propaga verso l'osservatore.
  2. il secondo raggio percorre tutta la lunghezza del giavellotto, ritrovandosi in prossimità dell'estremo posteriore. E' importante notare che nel tempo impiegato dal raggio per giungere fino all'altro estremo il giavellotto ha percorso un po' di strada, quindi la distanza coperta dal secondo raggio è inferiore a due metri. Questo è il vero punto focale del ragionamento.
  3. Mentre il secondo raggio si trova in prossimità dell'estremo posteriore della lancia viene prodotto il primo raggio.
  4. i due raggi raggiungono l'osservatore contemporaneamente, e questi li utilizza per misurare la lunghezza del giavellotto.
 Ora, noi stiamo parlando di raggi luminosi, ma quello che avviene di fatto è che il lanciatore vede i due estremi della lancia. Potendo osservare i due estremi non sarà un problema per lui misurarne la lunghezza. Occorre tener presente però che, se il giavellotto fosse fermo, la differenza nelle distanze percorse dai due raggi sarebbe esattamente di due metri. Ora che il giavellotto si sta muovendo però, per il fenomeno descritto nel punto 2, la differenza nella distanza percorsa dai due raggi è inferiore a due metri! Per farci un'idea, se il giavellotto si sta muovendo alla velocità di 100 Km/h, la lunghezza misurata dall'osservatore non sarà di 2 metri ma di 1,9999999999999914266 metri.





 D'accordo, la differenza tra le due lunghezze è ridicola, ma questo dipende dalla velocità "ridotta" del giavellotto. Effetti più considerevoli si osservano a velocità maggiori. Per farci un'idea più chiara possiamo guardare direttamente la formula:
dove L rappresenta la lunghezza misurata dal lanciatore quando il giavellotto è in moto, L0 quella misurata quando è fermo, v la velocità del giavellotto rispetto al lanciatore e c quella della luce nel mezzo in cui si sta spostando il giavellotto (non necessariamente il vuoto!).




 Se consideriamo che la luce si propaga nell'aria quasi rapidamente quanto lo fa nel vuoto capiamo che questo fenomeno è apprezzabile solo a velocità astronomiche. Ricordate che c vale circa 300000 kilometri al secondo! Per osservare effetti apprezzabili bisogna quindi far sì che la velocità dell'oggetto sia paragonabile a quella della luce. Ci facciamo un'idea se pensiamo che per dimezzare la lunghezza del giavellotto dobbiamo scagliarlo alla velocità astronomica di 935307436 Km/h!

 Prima di concludere vorrei fare qualche appunto:
  • L'effetto è generalizzabile anche al caso in cui l'oggetto si stia muovendo verso l'osservatore, basta invertire i ruoli di primo e secondo raggio.
  • Dal momento che la velocità c è costante per tutti, diversi osservatori misureranno lunghezze diverse. Ad esempio, un insetto che fosse aggrappato al giavellotto durante il moto continuerebbe a misurare una lunghezza di due metri. Oppure un'auto che si sta muovendo in direzione opposta a quella del moto del giavellotto misurerà una variazione di lunghezza maggiore poiché la velocità relativa tra i due è maggiore.
  • La lancia vede contrarsi la lunghezza del lanciatore, e allo stesso modo vede contrarsi la distanza che la separa dal punto di atterraggio. Quel che importa quindi è che sono le distanze in generale a contrarsi, non solo gli oggetti.
  • Se un oggetto raggiungesse la velocità della luce la sua lunghezza diventerebbe nulla. Basta sostituire c a v nella formula.
  • La contrazione delle lunghezze è un fenomeno "reale". E' sbagliato pensare che sia solo un effetto ottico. Non è corretto affermare che per il lanciatore il giavellotto sembri più corto di due metri: per il lanciatore il giavellotto è più corto di due metri. Insomma, il mondo si comporta diversamente per ogni osservatore, non è solamente una differenza ottica. Ciò può portare alla formulazione di diversi paradossi, che vedremo in dettaglio più avanti, ma tutti questi vengono risolti analizzando più dettagliatamente la teoria, oppure introducendo dei risultati della più ampia Relatività Generale.
 Spero che quest'articolo sia risultato interessante e comprensibile.
Grazie per aver letto fin qui,

Giulio







Immagini tratte da:
www.rmastri.it

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