domenica 30 agosto 2015

Equivalenza Massa-Energia: la dimostrazione proposta da Einstein

E = mc2

Ciao a tutti amanti della fisica!
In quest'articolo vedremo la prima dimostrazione della formula più famosa di tutta la fisica moderna, esattamente come Einstein la propose nel suo primo articolo a riguardo. Prima di procedere però facciamo una precisazione: per quanto tale formula sia solitamente e correttamente associata alla Relatività Ristretta, queste furono inizialmente presentate in due articoli separati *(anche se sono stati pubblicati nello stesso anno) e solo successivamente si capì che tale formula è una naturale conseguenza della Relatività Ristretta. Vediamo quindi come si può ricavare l'equivalenza tra massa ed energia. L'articolo sarà un po' più complicato dei precedenti, ma dovrebbe essere assolutamente comprensibile a chiunque abbia già studiato fisica a scuola.



Le ipotesi
 Prima di partire con la dimostrazione vera e propria è opportuno definire per bene le ipotesi su cui si basa. Innanzitutto è necessario avere ben chiaro il concetto di quantità di moto: in generale possiamo associare una quantità di moto ad un qualunque corpo di massa m in moto. Il valore di tale grandezza sarà il prodotto tra la sua massa e la sua velocità 
 
dove p rappresenta la quantità di moto, m la massa e v la velocità del centro di massa del corpo
(se avete studiato fisica a scuola certamente ne avrete già sentito parlare). Con centro di massa intendiamo sostanzialmente il baricentro del sistema. La particolarità di tale punto è che il suo moto è identico a quello di una particella che ha la stessa massa del sistema. 

 
Quello che invece non viene detto solitamente è che anche oggetti privi di massa possono avere una quantità di moto, anche se ovviamente la formula a cui si fa riferimento non è la stessa. Come stimarne allora il valore in un caso più generale? Vediamolo con un esempio. 

Ricordate l'ultimo articolo? Verso la fine avevamo visto che la luce è in realtà costituita da pacchetti di energia, che chiamiamo fotoni. Questi si comportano come particelle, ma non sono dotati di massa. In altre parole la loro massa è zero! Tuttavia si verifica che i fotoni hanno comunque una certa quantità di moto **(il ché non è di immediata comprensione, dal momento che la formula appena vista predice che un corpo di massa nulla trasporti anche quantità di moto nulla) . Dal momento poi che il raggio luminoso è costituito da fotoni, potremo associare alla stessa radiazione una quantità di moto. Non vedremo la dimostrazione di questo fatto, ma accettiamo che la quantità di moto trasportata da un'onda elettromagnetica sia
dove E rappresenta l'energia dell'onda e c è la velocità della luce nel vuoto.

 Altro fattore da considerare è il Primo Principio della Dinamica. Una conseguenza importante di questo principio è che la quantità di moto di un sistema si conserva se non agiscono forze esterne sul sistema. Ciò significa, ad esempio, che il centro di massa di un oggetto fermo, quindi con quantità di moto nulla, non può cominciare a muoversi da solo. Attenzione però: l'oggetto può muoversi, a patto che il suo centro di massa rimanga fermo (vedremo tra poco di chiarire questo concetto).

 Non è possibile quindi passare autonomamente da uno stato a quantità di moto nulla a uno a quantità di moto diversa da zero. È piuttosto evidente in effetti, ma è proprio da questo punto che salterà fuori la formula finale. Ricordate quando, nell'articolo sull'energia, si accennava al fatto che la conservazione di quest'ultima è legata al fatto che le leggi fisiche non cambiano nel tempo? Lo stesso vale per la quantità di moto: la conservazione di quest'ultima è legata al fatto che le leggi fisiche sono uguali in tutto lo spazio.

La dimostrazione
Bene, ora abbiamo tutto per passare ragionamento vero e proprio.
  Cominciamo immaginandoci una scatola chiusa dotata di ruote e in grado di muoversi avanti e indietro su una rotaia. All'interno di questa scatola si trovano due barre ancorate al fondo, una delle quali in grado di emettere un'onda elettromagnetica nella direzione dell'altra. La direzione in cui si propaga quest'onda è la stessa lungo cui può muoversi la scatola sulle rotaie.
Disegno orribile, ma abbastanza chiaro

Immaginiamo di trovarci davanti a questo strano carrello quando, all'improvviso, la barra emette la radiazione elettromagnetica. Cosa ci aspettiamo di vedere da fuori?
Vediamo delle possibili risposte:
  • Non accade nulla
  • Dato che il carrello è inizialmente fermo e l'onda ha una sua quantità di moto, per far sì che la quantità di moto totale del sistema sia sempre nulla, il carrello deve mettersi in moto nella direzione opposta a quella in cui si propaga l'onda.
  • Il carrello si mette in moto per il motivo scritto sopra, ma si ferma non appena l'onda elettromagnetica raggiunge la seconda barra. Deve fermarsi per lo stesso motivo per cui si è messo in moto: la conservazione della quantità di moto.
La risposta su cui ci concentriamo è la terza, ma spieghiamola meglio analizzando un caso più semplice da immaginare. 

Immedesimiamoci nelle barre: ci troviamo in questo carrello con una persona che ci sta particolarmente antipatica. Noi saremo la barra rossa e questa persona la barra verde, e siamo entrambi attaccati al fondo della scatola. Davanti a noi abbiamo un'enorme torta. Nessuno saprà mai cos'è successo qui dentro, quindi ci facciamo prendere dall'ira e decidiamo di lanciare la torta in faccia al nostro compagno verde. Cosa succede?
Non appena lanciamo la torta risentiamo del rinculo e veniamo sbalzati all'indietro ma, dato che siamo ancorati al suolo, sarà l'intero carrello a muoversi! Tuttavia, quando la torta raggiunge lo sventurato verde, anche questo risentirà dell'urto, e dato che anche lui è attaccato al suolo il carrello sentirà un secondo colpo, stavolta nella direzione opposta a quella in cui aveva cominciato a muoversi. 

In tutto questo processo però il centro di massa del sistema è rimasto immobile, infatti nessuno ha esercitato forze esterne sul carrello! Conseguentemente al lancio della torta, la massa è stata solo distribuita diversamente attorno al centro di massa, ma quest'ultimo non si è mosso come conseguenza della conservazione della quantità di moto. Quello che succede nel caso "reale" è esattamente la stessa cosa, basta sostituire alla torta un mucchio di fotoni!

Da fuori ci aspetteremmo quindi di vedere che il carrello comincia a muoversi e altrettanto improvvisamente si ferma. Il problema in tutto ciò è che i fotoni, a differenza delle torte, non hanno massa. Ciò significa che il passaggio di fotoni da una barra all'altra non può aver modificato la distribuzione di massa attorno al baricentro: è il centro di massa stesso ad essersi spostato. Ma ciò è chiaramente in contraddizione col Primo Principio della Dinamica! Nessuna forza esterna è stata esercitata sul carrello, che però è passato da uno stato a quantità di moto zero a un'altro a quantità di moto non nulla. 

Dato che siamo piuttosto sicuri della validità del Principio, cominciamo a pensare che qualcosa non vada. In particolare, tornando all'esempio di prima, immaginiamo che il compagno verde, non appena ci vede lanciare la torta, reagisca istantaneamente raccogliendo un sasso e tirandocelo contro. Questo sasso avrà massa m e la stessa velocità della torta. In questo modo il carrello risentirà di due spinte contrapposte di uguale intensità, e quindi non avrà motivo di mettersi in moto. I due oggetti devono però avere la stessa velocità per conservare in ogni istante la quantità di moto totale del sistema.

 Se immaginiamo quindi che la seconda barra trasferisca alla prima una certa massa, tale da preservare la Legge di Conservazione della quantità di moto, possiamo spiegare l'accaduto senza violare il Primo Principio della Dinamica.
Inseriamo allora qualche formula:
La torta rappresenta l'onda elettromagnetica, e trasporta quindi la quantità di moto E/c. Il "sasso" invece avrà massa m, e dovrà spostarsi con la stessa velocità dell'onda, quindi c. La sua quantità di moto sarà quindi mc. Per la conservazione della quantità di moto le due grandezze devono essere uguali:
e quindi, moltiplicando entrambi i membri per c...
 

Conclusioni
Ovviamente Einstein non aveva parlato di torte e sassi, ma spero di aver reso più comprensibile il tutto in questo modo. Del significato di questa formula si è già accennato qui. Per trattare più approfonditamente le conseguenze e di quest'uguaglianza sarebbe necessario un altro articolo come minimo! Prima di tornare sull'argomento sarà meglio approfondire quei fenomeni in cui si verifica l'effettiva conversione da massa a energia (e viceversa), e vi garantisco che ce ne sono diversi!

Grazie per aver letto fin qui,
Giulio




 
Immagini tratte da:
www.keepcalm-o-matic.co.uk 

Nessun commento:

Posta un commento